14 - Product Rule

Let $y=f(x)g(x)$ , then

$\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[f(x+h)-f(x)]g(x+h)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)+\underset{h\to 0}{\lim }f(x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

$=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$