Quotient Rule

Let $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ , then

$\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{hg(x)g(x+h)}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{hg(x)g(x+h)}-\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{hg(x)g(x+h)}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[f(x+h)-f(x)]g(x)}{hg(x)g(x+h)}-\frac{f(x)[g(x+h)-g(x)]}{hg(x)g(x+h)}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\frac{g(x)}{g(x)g(x+h)}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)g(x+h)}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x)}{g(x)g(x+h)}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)g(x+h)}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

$=f^{\prime }(x)\cdot \frac{g(x)}{{[g(x)]}^2}-\frac{f(x)}{{[g(x)]}^2}\cdot g^{\prime }(x)$

$=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{{[g(x)]}^2}$